天氣預報到底是不是在騙人？我整個就不爽了！從生活案例看條件機率——《跟著網紅老師玩科學》

許多人說，現在科學這麼發達，為什麼天氣預報總是不準呢？

這裡涉及一個數學問題，稱為「條件機率」。

什麼是條件機率呢？例如我們要確定 6 月 15 日是不是下雨，根據往年資料，下雨的機率有 40% ，不下雨的機率為 60% ，這就稱為「機率」。如果在前一天，天氣預報說 6月15 日下雨，這就稱為「條件」， 在這種條件下， 6 月 15 日真正下雨的機率就稱為「條件概率」。

圖／《跟著網紅老師玩科學》提供

你哭著對我說，天氣預報裡都是騙人的

天氣預報根據一定的氣象參數推測是否會下雨，由於天氣捉摸不定，即便預報下雨，也有可能是晴天。假設天氣預報的準確率為 90% ，即在預報下雨的情況下，有 90% 的機率下雨，有 10% 的機率不下雨；同樣，在預報不下雨的情況下，有 10% 的機率下雨，有 90% 的機率不下雨。

這樣一來， 6 月 15 日的預報和天氣就有四種可能：預報下雨且真的下雨，預報不下雨但是下雨，預報下雨但是不下雨，預報不下雨且真的不下雨。

我們把四種情況列在下面的表格中，並計算相應的機率。

下雨	不下雨
預報下雨	40% × 90% = 36%
預報不下雨	40% × 10% = 4%

計算方法就是兩個機率的乘積。例如下雨機率為 40% ，下雨時預報下雨的機率為 90% ，因此預報下雨且下雨這種情況出現的機率為 36% 。同理，我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的機率為 6% ，二者之和為 42% ，這就是天氣預報下雨的機率。

在這 42% 的可能性中，真正下雨占 36% 的可能，比例為\( 36 \div 42=85.7 \)%，而不下雨的機率為 6% ，占 \( 6 \div 42=14.3 \) %。

也就是說，假設天氣預報的準確率為 90% ，預報下雨的條件下，真正下雨的機率只有 85.7% 。

我們會發現：

預報下雨時是否真的下雨，不光與預報的準確度有關，同時也 與這個地區平時下雨的機率有關 。

圖／《跟著網紅老師玩科學》提供

檢查報告說我中獎了，我就真的生病了嗎？

與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時，如果醫生發現異常，一般不會直接斷定生病了，而會建議到大醫院再檢查一次，雖然這兩次檢查可能完全相同。為什麼會這樣呢？

假設有一種重大疾病，患病人群占總人群的比例為\(\frac{1}{7000} \) 。也就是說， 隨機選取一個人，有\(\frac{1}{7000} \) 的機率患有這種疾病，有\(\frac{6999}{7000} \) 的機率沒有患這種疾病。

有一種先進的檢測方法， 誤診率只有萬分之一 ，也就是說，患病的人有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為健康人，健康人也有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為患病。

我們要問：在一次檢查得到患病結果的前提下，這個人真正患病的機率有多大？

患病	健康
檢測患病	\(\frac{1}{7000} \times \frac{9999}{10000}\)\(=
\frac{9999}{70000000}\)	\(\frac{6999}{7000} \times \frac{1}{10000}\)\(=

\frac{6999}{70000000}\)
檢測健康 | \(\frac{1}{7000} \times \frac{1}{10000}\)\(= \frac{1}{70000000}\) | \(\frac{6999}{7000} \times \frac{9999}{10000}\)\(= \frac{69983001}{70000000}\)

我們仿照剛才的計算方法，檢測出 患病的總機率 為：\(\frac{9999}{70000000}+\frac{6999}{70000000} \) \(=\frac{16998}{70000000}\)
而 患病且檢測出患病 的機率為：\(\frac{9999}{70000000}\)

所以在 檢測患病的條件 下， 真正患病的機率 為：\( \frac{9999}{70000000} \div \frac{16998}{70000000}\) \(=\frac{9999}{16998}\) \( \approx 58.8 \)%

顯而易見，即便是萬分之一誤診的情況，一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。

圖／《跟著網紅老師玩科學》提供

那麼， 兩次檢測都是患病 的情況又如何呢？

大家要注意，在第一次檢測結果為患病的前提下，此人患病的機率已經不再是所有人群的 \(\frac{1}{7000}\) ，而變為自己的 58.8% ，健康的機率只有 41.2% 。

此處的機率就是條件機率 ，所以第二次檢測的表格變為：

患病	健康
檢測患病	58.8% × \(\frac{9999}{10000}\)= 58.794%

\(\frac{1}{10000}\)= 0.004%
檢測健康 | 58.8% × \(\frac{1}{10000}\)= 0.006% | 41.2% × \(\frac{9999}{10000}\)= 41.196%

在 兩次檢測都是患病的條件 下，此人 真正患病的機率 為：\(\frac{58.794}{58.794+0.004}\)\(=99.99 \) % 基本確診了。

日常生活超有感──貝式定理

對這個問題進行詳細討論的人是 英國數學家貝葉斯 。

圖／《跟著網紅老師玩科學》提供

貝葉斯指出：如果 A 和 B 是兩個相關的事件， A 有發生和不發生兩種可能， B 有 B1 、 B2 、……、 Bn 共 n 種可能。

那麼在 A 發生的前提下， Bi 發生的機率 稱為 ：條件機率 \( P(B_i|A) \)

要計算這個機率，首先要計算在 Bi 發生的條件下 ，A 發生的機率 ，公式為：\( P(Bi)P(A|Bi) \)

然後，需要計算 事件A發生的總機率 ：

方法是用每種Bi情況發生的機率與相應情況下A發生的機率相乘，再將乘積相加。
\( P(B1)P(A1|B1)+P(B2)P(A2|B2)+\cdots+P(Bn)P(An|B_n) \)

最後，用上述兩個機率相除， 完整的貝式定理公式 就是：

\( P(Bi|A) \) \(=\frac{P(Bi)P(A|Bi)}{P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+\cdots+P(Bn)P(A|B_n)} \)

貝式定理在社會學、統計學、醫學等領域，都發揮著巨大作用。

下次遇到天氣誤報、醫院誤診，不要完全怪氣象臺和醫院啦！有時候這是個數學問題。

——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》，2019 年 4 月，時報出版。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

登月失敗者大會(誤)：《阿波羅13號》觀影會+映後座談

在哪裡跌倒就在哪裡躺一下，然後站起來就好！(？

在地球是這樣，在月球也是如此。但如果不是跌倒，而是火箭發射後出了些狀況呢？只說了句「休士頓，我們有麻煩了」可是回不了地球的，
讓我們在登月50週年之際，不只談談成功的登月，更要一起重溫《阿波羅13號》，來看看勵志的登月失敗案例！（無誤）

活動包含觀賞《阿波羅13號》放映、映後座談，以及最重要的是：爆米花和含糖飲料(冰)。名額有限，還不快速速報名：https://lihi1.com/hO5PX

The post 天氣預報到底是不是在騙人？我整個就不爽了！從生活案例看條件機率——《跟著網紅老師玩科學》 appeared first on PanSci 泛科學.

作者暂无likerid, 赞赏暂由本网站代持，当作者有likerid后会全部转账给作者（我们会尽力而为）。


Support author:
Author's Filecoin address:
Or you can use Likecoin to support author: