我把我對摺，輕輕把你也對摺～用名片紙摺出立方體！ 還能談談三視圖與對稱──《藝數摺學》
- 作者／李政憲
對應：七年級「三視圖」、九年級「生活中的立體圖形」
需要道具：名片紙（長寬比例約 1.6：1，建議有 4 種顏色）、色紙
增加立體空間感的「三視圖」！
在十二年國教的 108 新課綱上路後，數學課中多了一個「三視圖」的概念，這個三視圖，不只能夠增進同學們的立體空間感，也和時下正夯的 3D 列印等新科技作結合。
什麼是三視圖呢？三視圖指的是將一個立體圖形，從前、後、左、右與上、下六個面，解構它從不同方向所看到的形狀，並以平面的方式呈現。以圖 1 為例，我們可以從六個方向看到不同的形狀，這也就是圖 2 中六個方向的「視圖」。
圖／臉譜出版提供
仔細觀察圖 2，你會發現上下兩個視圖是對稱的，而前、後與左、右視圖是相同的。難道所有的立體圖形的對向視圖不是對稱就是相同的嗎？另外，既然有六個面，為什麼叫做「三視圖」呢？這些疑惑，就讓我們用隨手可得的名片紙，實際做出一個圖 1 中的立體連方塊來觀察解惑吧！
用名片紙摺出立體連方塊！
- 要怎麼用名片紙做出立體連方塊呢？讓我們先從做出一個立體方塊開始吧。
請你拿起兩張符合一般名片紙比例的名片（一般的名片紙長寬比大約是 1.6:1 左右【註一】），將它們以上層直向、下層橫向的方式疊合出一個正方形（如圖 3）。
圖 3
李老師小聲說：「這個正方形同時也一定會是這個長方形中最大的正方形，為什麼呢？請自己思考看看後再看【註二】的答案。」
接下來，將直向的名片紙水平向右移動一些（如圖 4），使得重疊部分兩側多出來的部分寬度差不多，再將多出來的部分往上摺（如圖 5）。
圖 4
圖 5
接著翻面，將另一張名片沿垂直方向移動，同樣將兩側多餘的部分調整至等長，並往上摺製出一組互扣的正方形（如圖 6）。
圖 6
請用同樣的方法，再製作出共三組的互扣正方形（如圖 7）。
圖 7
- 接下來我們要將這六張正方形拼組為一個正方體。
首先將六張互扣的名片紙拆開，將其中一張放置桌面，並將另一張名片紙與第一張名片紙方向垂直擺放（如圖 8），再將第三張名片紙與這兩張名片紙互卡（如圖 9），至此請你確認每張名片紙兩側的長方形，是否都卡在另外兩張正方形的外側。
圖 8
圖 9
想像我們目前搭組的三張名片紙分屬一個正方體的下方、右方與後方三個面，接下來請將前方、左方與上方分別搭建一張名片紙 ，使得前後、左右與上下分別對稱，即可完成一個正方體（如圖 10）。記得同樣要注意每張名片紙兩側的長方形是否都卡在外側。【註三】
圖 10
由於我們要完成的是三個方塊的連接，所以接下來請各位再辛苦一點，繼續摺製兩個同樣的方塊如圖 11，摺好後就可以進行方塊的連接囉！
圖 11
- 要怎麼將兩個方塊連接起來呢？
首先，將兩個方塊以同樣方式擺放（如圖 12），接著將其中一顆旋轉九十度（如圖 13），再將兩個方塊多出來的長方形部份互扣，就完成兩個方塊的連接了（圖 14）。
圖 12
圖 13
圖 14
然後，用同樣的方式，我們可以將第三顆方塊與前兩個方塊的組合連接（如圖 15），於是我們不用膠水與膠帶，就完成了以三個方塊所組成的立體連方塊囉！
李老師小聲說：「如果有需要理解或複習對稱概念的讀者，可參考前一章〈摺紙數學初體驗──從鑲嵌摺紙談對稱的應用〉的內容。」
圖 15
- 但做好了連方塊之後，你可能會覺得這個作品有點鬆鬆的，容易散開。沒關係，讓我們再為它加工一下！
請準備三種不同顏色的名片紙，先以之前摺製正方體六個面的方式分別摺出六張、四張與四張（如圖 16），再將摺完的名片紙於三連方每個表面的外側和長方形扣接（如圖 17）。
李老師小聲說：「建議先從相連方塊的內側L型部份先作扣接，再逐步扣接外側，比較容易完成且美觀。」
圖 16
圖 17
在扣接時，可以讓上下兩面、左右兩側與前後兩側使用同一種顏色的名片紙，就正式完成這個三連方了（如圖 18）。你會發現成品加了外側名片紙後，明顯要比之前穩固許多。
圖 18
「三視圖」和對稱有什麼關係呢？
完成後的作品，我們不妨想想其與對稱性的關係：除了剛剛我們製作作品時，應用了對稱的原理以外，我們應用了三種顏色的名片紙做為其表面，也恰巧符合三視圖的概念：從上、下看的時候顏色相同，圖形對稱；左、右與前、後看的時候顏色相同外，圖形完全相同──想想看，全等不也是種對稱的概念應用嗎？
圖 19
由於這六個方向的視圖都是由正方形結構所組成，不是兩兩對稱就是兩兩全等，所以我們只需其中三個方向的視圖就能完整描述我們的作品，而其實多數由正立方體組成的立體圖形透過「正面、側面、上面」三個方向的視圖，就可以表示出它的形狀及尺寸，這也就是叫做「三」視圖的原因。
李老師小聲說：「若正立方體的數量較多或非正立方體所組成的立體圖形， 則前後的輪廓圖雖然相同， 中間的線條則未必會對稱。」
此外，我們內部用到的同色名片紙，所完成的是這個連方塊的體積部份，外部扣接的三色名片紙，所完成的恰是這個連方塊的表面積。
有了這些概念以後，我們還可以接著製作更多的連方塊當作積木來堆疊（如圖19），設計製作出更有趣的立體作品，不妨發揮自己的想像力玩玩看囉！
註解：
- 註一：有興趣進一步研究名片紙長寬比與其延伸概念的朋友不妨可以參考《科學教育月刊》345 期「摺紙中學數學」之〈名片試金石〉，中華民國 100 年 12 月號。
- 註二：重疊的部分是不是這個長方形裡最大的正方形呢？試想一下，如果這個正方形不是這個長方形中最大的正方形，則必存在一個邊長比這張名片紙的寬邊還長的正方形，若我們按著大於寬邊的長度繪製一個正方形如下圖，明顯可以觀察到這個正方形的一邊會超過原來名片紙的大小，所以兩張名片紙重疊的部分確定是這張名片紙裡面最大的正方形。
- 註三：此名片紙摺正立方體的摺法主要參考自網路，請各位讀者搜尋影片關鍵字「origami business card」即可找到相關的影片。
——本文摘自泛科學 2019 年 10 月選書《藝數摺學》，2019 年 9 月，臉譜出版。
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