數算日子的智慧：貝氏統計學家的婚姻難題
Dear Abby 是 1956 年開始發行、流傳甚廣的美國顧問專欄，起初的作者 Pauline Phillips 已在 2013 年過世，現由她女兒繼續以同名執筆經營。Dear Abby 經常為讀者提供諮商，為他們解決各種疑難雜症。下面這封讀者來函曾被列入統計學教科書裡，我也常用來作為基本統計學的教材。
「Dear Abby：
妳在專欄寫過女人懷胎266天。這是誰說的？我懷我的寶貝懷了 10 個月又 5 天 (310天)。這一點都不容置疑，因為我知道寶貝是哪天開始懷的。我老公在海軍服役，上次我們只見面一個鐘頭，而且之後就一直到生產前一天再見面，因此寶貝一定是在那個時候懷的。我不喝酒也沒亂劈腿，寶貝不可能不是老公的，請務必修正女人懷胎 266 天的說法，否則我的麻煩大了。
聖地牙哥讀者。」
我把這個材料給學生看，然後引用醫學知識，說受孕至生產時間呈常態分配，其平均數為 266 天、標準差為 16 天，要他們計算女人懷胎最少 310 天的機率，他們算出答案為 0.003 時，都發出會心的微笑。
現在我把這題目略改如下：
某貝氏統計學家與老婆婚姻生活一向平靜無波。某年元旦，兩人慶祝新年，決定生產報國，嗣後依然恢復平靜無波的生活。該年 11 月 7 日，老婆產下一女。
老公是一位統計學家，善於數算，老婆生產後，他推算如果此女確為從他所出，則老婆懷孕時間長達 310 天。根據醫學知識，一般婦女懷孕時間呈常態分配，其平均數為 266 天，標準差為 16 天。老公推算懷胎至少 310 天的機率是 0.003。
統計學家看著剛出生的女兒，再推算老婆的孕期，覺得越想越不對勁。圖／mil
統計學家老公算出這個機率後，不禁眉頭一皺。他想： 0.003是小機率事件，比統計推論的顯著水平0.05還小很多，怎麼就發生在自己家裡？ 此機率是由老婆受孕日期在 1 月 1 日的假設推算出來，因機率甚小，依「以否定後件來否定前件」（modus tollens）的命題邏輯，不能接受這個假設，然則難道自己戴綠帽了！當下咬牙切齒，拍桌大罵老婆。
不過老公畢竟有些學問，他再仔細一想： 0.003 的機率雖然小，但若樣本夠大，這麼小的機率也會發生在很多人身上。 以台灣每年大約有 20 萬新生兒來說，假設大多數為單胞胎自然生產，則每年約有 600 個媽媽懷孕時間會長達 310 天或更久。
大樂透每注中頭獎的機率 0.00000007 比 0.003 要小很多，而經常都有人中獎。相較之下，老婆中到 0.003 機率的大獎，也沒什麼好奇怪的啊。 統計學家老公想到這裡，不禁笑開了嘴：這寶貝女兒，說不定還會給自己帶來財運呢。立馬到彩券行買了十張樂透。
難道要當成中到0.003機率的大獎。圖／pixabay
第二天樂透開獎，十張全部槓龜，統計學家老公又懊惱起來了。他想：雖然說經常都有人中樂透，偏偏自己從來沒中過，連每期對幾十張統一發票都難得中到 200 元的小獎，哪有說這 0.003 機率的事件就輪到我？畢竟「個人中獎」和「有人中獎」是不同的事件，不能一概而論。那怎麼辦呢？究竟我該不該相信老婆？還是乾脆去查驗 DNA 算了？
貝氏統計學家老公靈光一閃，發現自己面臨的難題其實並沒有那麼簡單，而應該用貝式定理來推算。他這樣想：0.003 是在老婆未出軌的假設下計算的，因此它是一個 條件機率 ：
Pr(產期≥11/7|受孕期=1/1)= 0.003
但對一個貝氏統計學家而言，更該問的問題其實是：既然小孩是在 11 月 7 日出生，那老婆未出軌的機率為何？換句話說，更重要的機率應該是上面那個機率的 反機率 ：
Pr(受孕期=1/1|產期≥11/7)=？
這就是老婆未出軌的 後驗機率 。以貝氏統計學家的專長，老公知道要算這個 後驗機率 需要考慮兩個變數：
- 老婆在 1 月 1 日之後，是否有出軌受孕的機會？假設真正的受孕期是 1 月 1 日之後的第X天。X=0 代表老婆沒出軌，受孕期真的是 1 月 1 日；X>0代表老婆在 1 月 1 日後出軌才受孕。
- 自己一向對老婆有多少信心？依自己的主觀判斷，老婆未出軌，即 X=0 的機率有多少？假設 X=0 的機率為Y，X>0的機率為 1-Y，則 Y 越接近 1 信心越高，越接近0信心越低。Y是X=0的 邊際機率 ，1-Y是X>0的 邊際機率 。這 邊際機率 也就是貝氏定理所謂的 先驗機率 。
另外，如果我們以D來代表懷孕時間，則不論受孕期X是哪天，小孩在11月7日出生時，D都等於310-X。我們以D<310-X代表產期在11月7日之前，D≥310-X代表產期在11月7日這天或這天之後。
統計學家暗忖，只要知道孕期、出生日，就有機會推算出可能受孕日。圖／freestockphotos
D≥310-X 的機率顯然與X有關，我們用p(X)來代表此一條件機率：p(X)=Pr(D≥310-X|X)。因為懷孕時間呈常態分配：D~N(266,162)，我們可以導出：
\(p\left ( X \right )= Pr\left ( D\geq 310- X|X \right )= \frac{1}{2}Erf\left ( \frac{44-X}{16 \sqrt{2}} \right )\)
這裡Erf()是誤差函數；當 X=0時，p(0)=0.003。考慮這些變數後，我們可以用下列矩陣來呈現這個貝氏定理問題：
「行」的條件機率 | 老婆 1/1後未出軌：X=0
（受孕期=1/1） | 老婆 1/1 後出軌：X>0
（受孕期=1/1 後第X天）
---|---|---
D<310-X（產期<11/7） | 1-p(0) | 1-p(X)
D≧310-X（產期≧11/7） | p(0) | p(X)
「行」的邊際機率 | Y | 1-Y
關於貝氏定理的算法，請參考我寫的《會算「貝氏定理」的人生是彩色的！該如何利用它讓判斷更準確、生活更美好呢？》。老公要求的 後驗機率 是：Pr(受孕期=1/1|產期≥11/7)=Pr(X=0| D≥310-X)。
要求這個機率，首先必須把上表中「行」的 條件機率 轉化成 聯合機率 。這個只要記得「 聯合機率等於條件機率乘以條件本身的邊際機率 」的口訣就可算出如下：
聯合機率 | 老婆 1/1後未出軌：X=0
（受孕期=1/1） | 老婆 1/1 後出軌：X>0
（受孕期=1/1 後第X天）
---|---|---
D<310-X（產期<11/7） | Y(1-p(0)) | (1-Y)(1-p(X))
D≧310-X（產期≧11/7） | Y(p(0)) | (1-Y)(p(X))
「行」的邊際機率 | Y | 1-Y
算出 聯合機率 之後，再用「 條件機率等於聯合機率除以條件本身的邊際機率 」的口訣就可算出所要求的「列」的 條件機率 ：
Pr(受孕期 =1/1 │產期≧11/7)\(=Pr\left ( X=0 | D\geq 310-X\right )\) \(= \frac{Y p(0)}{Y p(0)+(1-Y)p(X)}\)
把前面算出 p(0) 和 p(X) 套入上式之後，我們可以看到 後驗機率 Pr(X=0|D≥310-X) 是X和Y的函數，為了更容易分析這函數，我們先把 Y值固定，再看它如何隨 X值變化。
首先，假設老公對老婆只有Y=0.5的信心，則 後驗機率 的函數圖形如下:
這個圖顯示如果老公本來就對老婆疑信參半，則當老婆在1月1日之後的一個半月之內有出軌的機會時，老公對老婆的信心會隨著X的增加而急速下降。當出軌的機會X 增加到預產期（1月1日後第 X+266 天）越接近 11 月 7 日時，X>0 顯得越「正常」而 X=0 顯得越「不正常」， 因此老公的信心會越低，疑心越重。特別是當老婆在二月 (X>30) 有出軌的機會時，那意謂著 11 月 7 日正是預產期的一個標準差（16天）之內，老公的信心會降至幾乎為0。
其次，如果老公平常對老婆有極高的信心，例如 Y=0.99，則後驗機率的圖形為
這圖顯示如果老公平常對老婆有充分的信心，則這信心隨著 X 的增加會下降得比較緩慢。即使到二月初才有出軌機會，也就是預產期開始接近 11 月 7 日時，老公對老婆仍然維持著 0.6 以上的信心。甚至當 X=44，即預產期恰恰為 11 月 7 日時，老公的信心仍在 0.37 的水平。
雖然信心不至於完全崩潰，但畢竟也會隨著 X 的增加而減小。老公算出貝氏後驗機率後應該了解，310 天是超乎尋常的懷孕時間，除非本來對老婆就有百分之百的信心，否則信心一定會下降的。雖說這只是「信者恆信，不信者恆不信」的貝氏詮釋，但在這個案例，信者卻必須要完全相信才能恆信，而不信者只要心中有點疑竇，終究會不信。
貝氏統計學者數算到這裡，長嘆了一口氣：「還是去查驗DNA吧！」
本文轉載自作者部落格，原文標題：數算日子的智慧：貝氏統計學家的婚姻難題
泛科學自製商品
3月6日化學元素週期表首次發表、3月14月圓周率日、11月17日瑪莉‧居禮誕辰……【時時科科 2020桌曆】 精選不容錯過的科學日，讓你記下屬於自己的重要日程，也記下科學史上的精彩片段。科學就在你手邊，既是轉角的冷知識，也是隨手翻開的每一天！
泛科學院獨家新課募資 限量5折預購 
孩子從 3 歲開始知道錢有支付的功能，5
歲之後孩子想要的東西越來越多。財商（FQ）即生活，這堂由泛科學院與布萊恩兒童商學院攜手共同企劃「兒童基礎財商養成－家長篇」線上課程，以家長的視角理解如何與孩子溝通金錢觀念！
http://bit.ly/2kMxsOV
The post 數算日子的智慧：貝氏統計學家的婚姻難題 appeared first on PanSci 泛科學.
作者暂无likerid, 赞赏暂由本网站代持，当作者有likerid后会全部转账给作者（我们会尽力而为）。Tips: Until now, everytime you want to store your article, we will help you store it in Filecoin network. In the future, you can store it in Filecoin network using your own filecoin.
Support author:
Author's Filecoin address:
Or you can use Likecoin to support author: