视频 | 怎样画一张地图？

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怎样画一张地图？

用纸笔勾勒出道路大概的方向、周围建筑物的轮廓，写上路名。这样就得到了一张简单的地图，但是你照着它可能连自己家都找不到。

因为你的地图不能准确地描述道路的长度、方位等信息。

要想得到更准确的地图，必须要先实地测量，以这条路线为例，你首先要知道它每条边的长度，和它每个夹角的角度。

最简单的方法是从路的交点开始，向两条路的终点用皮尺量取长度，并用量角器记录下两条路夹角的角度。然后再利用比例尺换算，比如按 1:100000 的比例尺，就可以用 10 厘米的线条表示 1 公里。

用这种方法，你可以将所有道路、建筑的轮廓展开在纸上，得到一张城市地图，但是它还不准确。

因为地表不是平的，用皮尺量取的长度必然比两点间实际的水平距离长，而要想确定准确的水平距离，你需要水准尺和水准仪。

先在待测的两点架设标有刻度的水准尺，再将水准仪尽量架设在两点中心，保证前后都能看到水准尺。

这时，只要读取两侧水准尺中丝度数，就能相减得出两点的高度差；根据水准仪的特有结构，只要利用上下丝的读书差乘以放大系数，就能得到水准仪到水准尺的距离，前后距离之和就是两点的水平距离。

有了相对准确的距离数据后，还需要更精确的角度数据，这时，你可以使用电子全站仪。

在两点设置棱镜，让全站仪准心照准第一台棱镜，设为初始方向，即 0 度角，再照准另一点的棱镜，这样全站仪转动的角度就是两条线的夹角，数值会直接显示在屏幕上。

通过这些手段，你可以只从一个初始点不断向外拓展测完整个地图。然而，测量的仪器和方法难免产生误差，多次测量后就会逐步积累，最终可能导致数米的偏差。

所以为了减少误差，在测量时最好要先确定多个足够精度的参考点，称为控制点，进而搭出地图的骨架，称为控制网。

这是中国的国家平面大地控制网，分为四等，其中的一等控制网大致沿经纬线分布，网格间距约 200 公里。这些网格线实际上是一系列控制点构成的三角形，称为三角锁。以一等三角锁网为参考，就可以向内填充二等连续网。

比如以一等网上的 A、B 点为基准测量二等网中的 C、D、F 等未知点的坐标。

我们已知点 A 的坐标（xA，yA），通过观测得到点 A 到 点 B 的边长 SAB 和 各边的坐标方位角，就可以通过正弦定理快速推算出 A I 的边长和 I 点的坐标。

只要有了三角网中的一个起算点坐标和起算边长和方位角，就能依次获得整个角中的坐标。以这种方式或其他类似方法建立控制网的过程称为控制测量。

中国的国家平面控制网包含 154348 个控制点。你可以在相应的位置找到这些被预先埋设好的控制点，以此建立更详细的控制网。依靠控制网进一步测量更细节的地表各点坐标，称为碎部测量。

比如要表现一栋楼房的轮廓，你可以从附近的控制点分别测量它每个转角点的坐标，依次连成图形即可。

不过，单靠控制点还不够。要想减少误差，在测量时还需多次观测，并通过数学手段得到最接近真实情况的数值。

比如我们对某段距离在同精度下观测 n 次，获得了 n 个不同的观测值 L1 - Ln 。而我们要求取的最接近真实情况的数值叫 「最或是值」，设为 x ，如何算出这个 x 呢？答案是最小二乘法。

首先，各个观测值与最或是值必然有差，称为改正数 v1 - vn。当这些改正数的平方和最小时，就能得到最或是值。

我们只要对 x 求一阶导数，并令其为零。

在这个情况下，这段距离的最或是值就是各个观测值的平均数。但在其他计算角度或坐标等情况下，通过最小二乘法可能会得到更复杂的函数。

现在，利用控制网和最小二乘法，你已经获得了无数坐标点，但这还没完。

因为地球是椭球体，表面也是个曲面，而我们日常生活中的地图通常是二维平面，在画地图时，还得把用经纬度表示的曲面地理坐标被转化成以距离为单位的平面直角坐标。

这种将地球表面坐标转移到平面坐标的方法，叫地图投影。

以墨卡托投影为例，它假想了一个与地轴方向一致的圆柱切于地球，按等角条件，将地球上的每个点和经纬网投影到圆柱面上，展开后就得到了一幅世界地图。

今天，我们日常生活中看到的绝大部分世界地图都是墨卡托投影画出来的，它可以很好地体现上北下南，左西右东的方向感，但随着纬度变高却会产生越来越严重的畸变。

尤其是北半球的大部分国家，包括中国，看起来都比它们真实的比例要大个两三号。

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