用凯利判据玩转前文中的“一个有趣的小数学游戏”
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在《为什么频繁交易的人大多数在股市上都赔钱了？一个有趣的小数学游戏也许可以解答 》中我写道了如下有趣的小数学游戏：
假设有这么一家赌场提供了这么一个你可以玩无穷多次的游戏：扔一个硬币，若正面向上，则你的资产变成当下的 1.2 倍；若反面向上，则你的资产变成当下的 0.83 倍。你会选择玩这个游戏吗？
在那篇文章中，我做了个简单的模拟，验证了一下这个游戏会出现的结果：绝大多数玩家玩到最后都归零了，只有极少数玩家能够赢得超过本金的钱，而赢得最多的那个人的最终资产远远超过其他人很多很多。
但若改动一个游戏条件，这个游戏就变得更加有趣了：若玩家可以自己选择投注金额呢？玩家应该如何投注才是最佳方案？
直观的想：如果每次都押注100%金额，那其实就回到了一开始那个不能自己选投注金额的游戏，虽然每次玩收益很大，却有非常大的风险最后归零；如果每次都押注太小，那显然回报会很低。最佳的投注比例一定是平衡了这二者的。事实上这个新的游戏的最佳玩法，正是大名鼎鼎的凯利判据 (Kelly Criterion)。凯利判据就是通过最大化资金的log函数的期望而得到的投注比例。证明过程就略过了，基本上就是对这个函数求导就可以。最后得到的凯利判据 (Kelly Criterion)公式为：
K = (pW-qL)/WL
其中p为赢的概率 (0.5)，q=1-p为输的概率 (0.5)，W为赢的情况下的赔率 (0.2)，L为输的情况下的赔率 (0.17)。在我们这个游戏中，计算得知最佳投注比例 K 约为 0.44。
于是我改动了一下模拟代码，来看看现在用凯利判据投注的话结果如何！
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
P
…
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